Question

[Nguyễn Phương Thảo]

Tìm các số a,b, nguyên thỏa mãn: \(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

\(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)

<=> \(\frac{5\left(a-b\sqrt{2}\right)}{a^2-2b^2}-\frac{4\left(a+b\sqrt{2}\right)}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3\) trục căn thức

<=> \(\frac{5a}{a^2-2b^2}-\frac{5b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}-\frac{4a}{a^2-2b^2}-\frac{4b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=3\)

Vì a; b nguyên => \(\hept{\begin{cases}\frac{5a}{a^2-2b^2}-\frac{4a}{a^2-2b^2}=3\\-\frac{5b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}-\frac{4b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}+18\sqrt{2}=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a^2-2b^2}=3\\\frac{9b}{a^2-2b^2}=18\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{a^2-2b^2}=3\\\frac{b}{a^2-2b^2}=2\end{cases}}\)

Với b = 0 => loại 

Với b khác 0: 

=> \(\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}b\)

=> \(\frac{b}{\frac{9}{4}b^2-2b^2}=2\)=> b = 2 => a = 3  thử lại  thỏa mãn 

Vậy a = 3 và b = 2.

Answer 2

[Tran Le Khanh Linh]

\(\frac{5}{a+b\sqrt{2}}-\frac{4}{a-b\sqrt{2}}+18\sqrt{2}=3\)

\(\Leftrightarrow5a-5b\sqrt{2}-4a-4b\sqrt{2}+18\sqrt{2}\left(a^2-2b^2\right)=3\left(a^2-2b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow5a-5b\sqrt{2}-4a-4b\sqrt{2}+18a^2\sqrt{2}-36b^2\sqrt{2}=3a^2-6b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(18a^2-36b^2-9b\right)\sqrt{2}=3a^2-6b^2-a\)

-Nếu \(18a^2-36b^2-9b\ne0\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{3a^2-6b^2-a}{18a^2-36b^2-9b}\)

Vì a,b nguyên nên \(\frac{3a^2-6b^2-a}{18a^2-36b^2-9b}\inℚ\Rightarrow\sqrt{2}\inℚ\)=> Vô lý vì \(\sqrt{2}\)là số vô tỷ

-Vậy ta có: \(18a^2-36b^2-9b=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}18a^2-36b^2-9b=0\\3a^2-6b^2-a=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3a^2-6b^2=\frac{3}{2}b\\3a^2-6b^2=2\end{cases}}\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}b}\)

Thay a=\(\frac{3}{2}b\)vào \(3a^2-6b^2-a=0\)

ta có \(3\cdot\frac{9}{4}b^2-6b^2-\frac{3}{2}b=0\Leftrightarrow27b^2-6b=0\Leftrightarrow3b\left(b-2\right)=0\)

Ta có b=0 (loại), b=2 (tm) => a=3

Vậy b=2; a=3